A primeira tradução da Bíblia em português foi imprimida em 1753, fruto da obra iniciada em 1645 pelo protestante João Ferreira Almeida. Ele traduziu para o português primeiro se apoiando em traduções de outras línguas e, em seguida, estudou as línguas originais da Bíblia e sobretudo o Novo Testamento foi traduzido do grego. Portanto, poderíamos dizer que a primeira versão completa da Bíblia foi imprimida em 1753.

As traduções parciais da Bíblia em português, todavia, são muito mais antigas. Os primeiros capítulos traduzidos para o português (Gênesis 1-20) teriam sido feitos no final do Século XIII, por D. dinis, rei de Portugal que faleceu em 1325. Outras traduções parciais foram aparecendo, sobretudo vindas do ambiente da corte (veja aqui detalhes com datas).

É importante ter presente que enquanto nascia a vontade de ter em mãos a Bíblia nas línguas correntes, vernáculas, a Inquisição via tal tendência com maus olhos. Era até mesmo proibido ter em casa uma versão da Bíblia na própria língua (1547). A Bíblia oficial era em latim (vulgata) e só essa podia ser usada.

Sobre as traduções da Bíblia no Brasil, veja outra resposta do colega Odalberto.