É uma pasagem muito conhecida de todos nós, muito usada, por exemplo, nas celebrações de casamento. E efetivamente há versões da Bíblia que usam "amor" e outras "caridade".

Em grego a palavra usada é αγάπη (agape). Seria normal traduzir com "amor". Obviamente esse vocábulo português não dá muito ideia da profundidade do termo grego. De fato, em grego, como você bem insinou na pergunta, há vários níveis de amor, caracterizados com palavras diferentes:

1. Eros

É o amor melhor entendido como atração física, fruto também dos sentimentos (paixão) e com conotações principalmente sexuais. Dessa palavra derivam termos como "erótico" ou "erotismo".

2. Storghé

O verbo grego sterghein designa o amor espontâneo, natural, típico das pessoas com ligações de sange, como os parentes. Mas também designa o sentimento que une certos grupos, como os torcedores de um time de futebol.

3. Philia

O amor não se resume ao desejo (eros) e instinto (storghé). Há também um sentimento de afeto, que é partilhado. Esse amor significa apreciar, ter afeto... E se caracteriza sempre pela reciprocidade. Pode ser um amor que caracteriza o comportamento dos namorados.

4. Agape

É a palavra que o Novo Testamento gosta de usar para exprimir o verdadeiro amor, aquele de Deus pelo seu povo, por nós. É a forma de amor mais elevada, mais pura e autêntica. 

A LXX usou agape (αγάπη)  para traduzir o termo hebraico "ahava", que aparece muitas vezes no Deuteronômio para falar do amor de Deus por seu povo: “Porque o Senhor vos ama..., o Senhor vos tirou com mão forte e vos resgatou da casa da servidão, da mão de Faraó, rei do Egito.” (Dt 7,8). Aparece também no livro dos provérbios: “O ódio excita contendas, mas o amor cobre todos os pecados.” (10,12).