As duas possibilidades de numeração deriva do modo diferente de numerar os salmos nas duas traduções antigas e famosas: em grego (LXX - Septuaginta) e latim (Vulgata). Essas duas traduções, muito antigas, usam uma numeração diversa do original para os salmos. Há algumas versões de nossas bíblias que se baseiam nessas traduções e outras que se baseiam na versão original, segundo o hebraico. Hoje em dia a maioia das traduções traz o número original dos salmos e, entre parênteses, coloca a numeração dada pela LXX e pela Vulgata. Em todos os casos, os total dos Salmos são sempre 150.

O que fizeram a Septuaginta (grego) e a Vulgata (latim)

* Uniram os Salmos 9 e 10 em um único salmo (9);
* Uniram os Salmos 114 e 115 em um único Salmo (113 para essas traduções);
* Dividiram o Salmo 116 em dois (tornaram-se Salmos 114 e 115):
* Dividiram o Salmo 147 em dois (tornaram-se Salmos 146 e 147)

A tabela abaixo sintetiza a questão.

Original hebraico LXX e Vulgata
1-8 1-8
9 9 versículos 1-21
10 vv. 1-18 9 versículos 22-39
11-113 10-112
114 113 vv. 1-8
115 vv. 1-18 113 versículos 9-26
116 vv. 1-9 114
116 vv. 10-19 115 versículos 1-10
117-146 116-145
147 versículos 1-11 146
147 versículos12-20 147 versículos 1-9
148-150 148-150

Aplicando a questão ao Salmo 119 - encontramos nas nossas Bíblias 119 (118) - significa que originalmente, em hebraico, era o Salmo 119, mas as traduções grega e latina atribuiram a ele o número 118.

Por que manter essa confusão?

Não há muita razão, exceto pelo fato da existência de muitos textos históricos que usam a numeração das versões grega e latina (padres da igreja, liturgia católica). Em vistas do estudo de textos antigos é importante ter consciência dessa questão. Todavia, para os comuns leitores, talvez seja um fator prejudicial, que provoca distração na leitura e oração. Creio que, aos poucos, as edições começarão a omitir o número entre parênteses.

Os nomes no início de alguns versículos no Salmo 119

Esse Salmo é considerado "alfabético" (veja também o Salmo 9, 25, 34, 37, 111, 112, 145), isto é usa as 22 letras do alfabeto hebraico no início das estrofes. Portanto Alef, Bet, Guimel, Dalet, Hê, Waw, Zain, Het, Tet, Yod, Kaf, Lamed, Mem, Nun, Samec, Ain, Pê, Çade, Qof, Resh, Shin e Taw são as letras do alfabeto hebraico, como as nossas A, B, C, etc. Portanto, não são nomes próprios, não são nomes de pessoas.

Sobre o uso desse recurso, veja outra respota já postada aqui no site.