Essa criatura é mencionada 6 vezes na Bíblia: Jó 3,8; Jó 41,1; Salmos 17,14; Salmos 104,26 e 2 vezes em Isaías 27,1. Na passagem que você cita, Salmos 104,25-26, assim encontramos:

Eis o vasto mar, com braços imensos, onde se movem, inumeráveis, animais pequenos e grandes. Aí circulam os navios, e o Leviatã, que formaste para com ele brincares.

Vendo nos dicionários bíblicos, como no famoso BDB (Brown-Driver-Briggs), esse animal é definido como “serpente, dragão, monstro marinho”. Na verdade, não se sabe que animal seja. E é provável que se trata simplesmente de uma ficção, uma maneira de chamar as criaturas desconhecidas e, por isso, temíveis que habitam as profundezas dos mares. O mar é um lugar desconhecido e perigoso para o mundo antigo; é o lugar onde moram os demônios.

Para ajudar a entender essa criatura mitológica, também na modernidade temos um exemplo, que é o Monstro do Lago Ness, uma criatura misteriosa que alguns teriam visto nesse lago da Escócia. É descrito como uma serpente ou réptil marinho, semelhante a criaturas pré-históricas.

É provável que à base dessas “monstros” existam criaturas verdadeiras, grandes, como podem ser crocodilos ou baleias, mas que a tradição popular engrandece, sublinhando o caráter misterioso das águas profundas.